HPGP 기반 PLC 환경에서의 세 가지 MAC 접근

HPGP(HomePlug Green PHY) 기반 PLC 환경에서의 세 가지 MAC 접근—① Adaptive-CW CSMA/CA, ② 하이브리드 MAC(2CA-R² 계열), ③ 클러스터/슬롯 기반 TDMA—를 수식 중심으로 정리한 내용이다.

분석 범위에는 1:1(두 노드), 5노드 시나리오와, SLAC(Signal Level Attenuation Characterization)로 인한 제어 트래픽 및 시간 점유가 포함된다.

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1. 모델링 가정과 기호

• 노드 수: $N\in{2,5}$ (1:1은 $N=2$, 5노드 환경은 $N=5$)
• 슬롯 시간: $\sigma$, 성공 슬롯 지속시간: $T_{\text{succ}}$, 충돌 슬롯 지속시간: $T_{\text{coll}}$
• 페이로드(유효 데이터) 전송 시간: $T_{\text{data}}$
• 전송 시도 확률(슬롯 단위): $\tau$ (Adaptive-CW에서 노드별 평균 시도확률)
• SLAC 제어 트래픽: 시간 비율 $p_{\text{slac}}\in[0,1)$ 또는 주기성 $(T_{\text{slac}},D_{\text{slac}})$ 로 표현
• 데드라인: $D$ (긴급 메시지 기한)
• 모든 노드는 포화(saturated) 트래픽을 갖는 보수적 가정을 우선 사용(필요 시 비포화 지표로 확장 가능)

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2. Adaptive-CW CSMA/CA (HPGP 계열)

2.1 목적과 핵심 아이디어(수학적 관점)

• 목표: 충돌 확률을 낮추는 방향으로 CW(Contention Window)를 동적으로 조정해 성공 확률 $P_{\text{succ}}$을 극대화하고, 평균 지연을 최소화.
• 충돌확률–CW–시도확률의 관계를 고정점으로 푸는 Bianchi류 모델을 기반으로, 온라인 추정 $\hat p$ (충돌율/채널혼잡)로부터 가깝게 최적인 $\tau^*$를 유도하고, 이를 만족하는 $CW^*$를 설정.

대표적 관계식(최대 백오프 단계 $m$, 최소 윈도우 $W_0$):

$$
\tau ;=; \frac{2(1-2p)}{(1-2p),(W_0+1)+p,W_0,(1-(2p)^{m})},
\qquad
p ;=; 1-(1-\tau)^{N-1}.
$$

Adaptive-CW는 관측 $\hat p$를 이용해 위 식의 고정점을 추정하고 $CW$를 갱신:

$$
CW_{t+1} ;\approx; f!\left(\hat p_t\right)
\quad\Rightarrow\quad
\tau_{t+1} \approx \tau^*(N) \text{ 에 수렴.}
$$

실무적으로는 $\tau^* \approx \frac{1}{N}$ 근방이 성공 확률을 극대화(한 슬롯에 정확히 1명 전송)하는 휴리스틱으로 널리 쓰인다.

2.2 효율(throughput/활용도)과 충돌/성공 확률

슬롯 기준:

$$
\begin{aligned}
P_{\text{idle}} &= (1-\tau)^N,\
P_{\text{succ,slot}} &= N,\tau,(1-\tau)^{N-1},\
P_{\text{coll,slot}} &= 1-P_{\text{idle}}-P_{\text{succ,slot}}.
\end{aligned}
$$

채널 활용도(유효 데이터 비율):

$$
\eta_{\text{ACW}} ;=;
\frac{P_{\text{succ,slot}};T_{\text{data}}}
{P_{\text{idle}}\sigma+P_{\text{succ,slot}}T_{\text{succ}}+P_{\text{coll,slot}}T_{\text{coll}}}.
$$

SLAC 시간 점유는 유효 가용시간 축소로 반영:

$$
\eta_{\text{ACW,eff}} ;=; (1-p_{\text{slac}}),\eta_{\text{ACW}}.
$$

또는 SLAC를 추가 경쟁 노드로 취급하면 조건부 충돌확률은

$$
P_{\text{coll}\mid\text{tx}} ;=; 1-(1-\tau)^{N-1}(1-\tau_c),
$$

($\tau_c$: SLAC 노드 슬롯시도확률, 보통 $\tau_c\ll \tau$).

시나리오별 함의

• 1:1($N=2$): $\tau$만 적절히 잡으면 $P_{\text{coll,slot}}$이 매우 작아 $\eta\to 1$에 근접.
• 5노드($N=5$): 고정 $CW$면 충돌 증가 → $\eta$ 하락. Adaptive-CW가 $\tau$를 $1/N$ 근방으로 맞추어 효율 극대화를 시도.

2.3 응답시간(평균/최악)과 데드라인 미스 확률

평균 접근 지연(첫 성공까지 기대 시도 횟수 $\mathbb{E}[X]\approx 1/P_{\text{succ}}(1)$에 근사):

$$
D_{\text{avg}} ;\approx; \frac{P_{\text{succ,slot}}T_{\text{succ}}+P_{\text{coll,slot}}T_{\text{coll}}}{P_{\text{succ}}(1)}
\quad\text{with}\quad
P_{\text{succ}}(1)=(1-\tau)^{N-1}.
$$

최악 지연(WCRT)은 재시도/백오프 상한이 있을 때 상계:

$$
\text{WCRT} ;\lesssim; \sum_{i=0}^{m}(W_i-1),\sigma ;+; \sum_{i=0}^{m-1}T_{\text{coll}} ;+; T_{\text{succ}} ;+; J_{\text{slac}},
$$

$W_i$는 단계별 윈도우, $J_{\text{slac}}$는 SLAC로 인한 지연 여유(가드) 항.
데드라인 미스 확률(간단 근사):

$$
\Pr{ \text{delay}>D } ;\approx; (1-P_{\text{succ}}(1))^{k(D)},
$$

여기서 $k(D)$는 시간 $D$ 내 시도 가능 횟수(슬롯 수, 프레임 구조 반영).

장점: 구현 단순, 평균 성능 향상, 1:1/저노드에서 매우 효율적.
한계: 본질적으로 확률적 접근 → 엄밀 WCRT 보장 곤란, SLAC가 경쟁에 끼면 tail 지연이 길어질 수 있음.

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3. 하이브리드 MAC (2CA-R²류: 경쟁→예약)

3.1 목적과 핵심 아이디어(수학적 관점)

• 한 **사이클(cycle)**을 경쟁 단계(미니슬롯 $M$개, 전송요청)와 예약/전송 단계(충돌 없는 TDMA 구간)로 분할.
• 경쟁 단계에서 각 활성 노드 $K$는 확률 $q$로 미니슬롯에 “요청”을 전송. 정확히 1명 성공 확률:
• $$
  P_{\text{succ(slot)}} = Kq(1-q)^{K-1};;\Rightarrow;; q^*=\tfrac{1}{K}\text{에서 최대 } \approx \tfrac{1}{e}.
  $$
• 미니슬롯 $M$개 → 한 사이클에서 기대 승자 수:
• $$
  r ;=; M,Kq(1-q)^{K-1}
  ;;\xrightarrow[]{q=\frac{1}{K}};;
  r \approx \frac{M}{e}.
  $$
• 예약 단계에서 충돌 없이 $r$개의 데이터 전송 수행 → 효율·지연 크게 개선.

3.2 효율과 충돌/성공

사이클 단위 효율:

$$
\eta_{\text{hyb}} ;=; \frac{T_{\text{data(sum)}}}{T_{\text{cycle}}}
;=; \frac{r,T_{\text{data}}}{T_{\text{contend}}+r,T_{\text{succ}}}.
$$

여기서 $T_{\text{contend}}=M,\sigma_{\text{mini}}$ (미니슬롯 길이), $T_{\text{data(sum)}}=r,T_{\text{data}}$.
경쟁 단계 충돌확률(슬롯당):

$$
P_{\text{coll(mini)}} = 1-(1-q)^K-Kq(1-q)^{K-1}.
$$

예약 단계 충돌은 0.
SLAC는 (i) 경쟁 슬롯 일부를 제어 전용으로 예약하거나, (ii) 별도 제어 슬롯로 분리하여 데이터 충돌 영향 최소화:

$$
\eta_{\text{hyb,eff}} = (1-p_{\text{slac}}),\eta_{\text{hyb}}.
$$

시나리오별 함의

• 1:1: 첫 미니슬롯에서 즉시 승자($r\simeq 1$) → 효율/지연 모두 우수.
• 5노드: $M$을 너무 작게 잡으면 $r$가 제한 → 효율/지연 저하. $M$을 늘려 $r\simeq M/e$로 키우면 다수 노드를 한 사이클에 수용 가능.

3.3 응답시간과 데드라인 만족 확률

개별 노드가 한 사이클에서 승자가 될 확률 $P_{\text{win}}$. 근사적으로

$$
P_{\text{win}} ;\approx; \min!\Big(1,,\frac{r}{K}\Big)
\quad\Rightarrow\quad
\mathbb{E}[\text{사이클 지연}] \approx \frac{1}{P_{\text{win}}}.
$$

시간으로는

$$
D_{\text{avg}} ;\approx; \frac{T_{\text{cycle}}}{P_{\text{win}}}.
$$

데드라인 $D$에서 미스 확률(사이클 단위 기하분포 tail):

$$
\Pr{\text{miss}};=;(1-P_{\text{win}})^{\left\lfloor D/T_{\text{cycle}}\right\rfloor}.
$$

확률적 WCRT를 $\varepsilon$-보장 형태로 쓰면,

$$
\Pr{ \text{delay} > nT_{\text{cycle}}} \le (1-P_{\text{win}})^n ;\le; \varepsilon,
$$

즉 $n \ge \frac{\ln \varepsilon}{\ln(1-P_{\text{win}})}$.
SLAC는 $T_{\text{cycle}}$을 늘리거나 $M$을 줄여 $P_{\text{win}}$을 감소시킬 수 있으므로, 제어 슬롯 분리로 $P_{\text{win}}$을 유지하는 설계가 핵심.

장점: CSMA 대비 충돌을 경쟁 구간으로 국한하고, 데이터는 결정론적으로 송신 → 평균/분산 지연 크게 개선. 매 사이클 $r$개를 수용하므로 스케일링 우수.
한계: 여전히 확률적 진입(경쟁)이 존재 → 엄밀 WCRT는 TDMA보다 약함. 최적 $M, q$ 선정 및 동기화 오버헤드가 설계 난점.

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4. 클러스터/슬롯 기반 TDMA (Modified Intra-Cluster TDMA류)

4.1 목적과 핵심 아이디어(수학적 관점)

• 클러스터 단위로 슈퍼프레임을 정의하고, 각 노드에 고정 슬롯 할당. 충돌은 원천적으로 제거.
• 슈퍼프레임 구성:

$$
T_{\text{frame}} ;=; T_{\text{ctrl}} ;+; \sum_{i=1}^{N} (T_{\text{slot},i}+G_i),
$$

여기서 $T_{\text{ctrl}}$은 비컨/동기/SLAC 제어 슬롯, $G_i$는 가드타임.

4.2 효율과 성공/충돌

효율:

$$
\eta_{\text{TDMA}} ;=; \frac{\sum_{i=1}^{N} T_{\text{data},i}}{T_{\text{frame}}}
;=; 1-\frac{T_{\text{ctrl}}+\sum_i G_i+\sum_i(T_{\text{slot},i}-T_{\text{data},i})}{T_{\text{frame}}}.
$$

데이터 슬롯 내 충돌확률 0, 성공확률 $=1$.
SLAC는 $T_{\text{ctrl}}$에 포함되어 효율을 선형 감소:

$$
\eta_{\text{TDMA,eff}} ;=; 1 - p_{\text{slac}}\quad
\big(p_{\text{slac}}=T_{\text{slac}}/T_{\text{frame}}\big).
$$

시나리오별 함의

• 1:1: 두 슬롯만 교차 배정 → $\eta\approx 1-\frac{T_{\text{ctrl}}+G}{T_{\text{frame}}}$, 지연은 매우 예측가능.
• 5노드: 슬롯 수 증가로 $T_{\text{frame}}$이 길어져 평균·최악 지연 모두 커지나 결정론적 상계 유지.

4.3 지연 상계(RTA)와 큐잉

도착 직후 다음 자기 슬롯까지 대기가 최악:

$$
\text{WCRT} ;=; T_{\text{frame}} - T_{\text{slot},i}^{(\text{내 위치 보정})} ;\approx; T_{\text{frame}}.
$$

평균 대기시간:

$$
D_{\text{avg}} ;\approx; \frac{T_{\text{frame}}-T_{\text{slot},i}}{2} ;\approx; \frac{T_{\text{frame}}}{2}.
$$

노드 $i$의 안정성 조건(주기적 서비스, Network Calculus 관점):
노드 $i$의 유입률 $\lambda_i$와 서비스 용량 $C_i=\frac{T_{\text{data},i}}{T_{\text{frame}}}$ 사이에

$$
\lambda_i < \frac{1}{T_{\text{frame}}} \quad(\text{패킷/프레임})
;; \Rightarrow ;; \text{지연 상계 유한}.
$$

과부하 시 큐잉 지연은 패킷 순번 $k$에 대해 $(k-1),T_{\text{frame}}$로 선형 증가.

장점: 충돌 0, 결정론적 WCRT. 데드라인 검증과 형식적 분석 용이(서비스 커브·스케줄러빌리티).
한계: 빈 슬롯·가드·비컨으로 효율 손실, 노드 증가 시 $T_{\text{frame}}$ 증가로 지연 확대. SLAC가 잦으면 $T_{\text{ctrl}}$ 증가.

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5. 세 방법의 정량 비교(요약)

5.1 효율(간단 형태)

• Adaptive-CW

$$
\eta_{\text{ACW}} =
\frac{N\tau(1-\tau)^{N-1}T_{\text{data}}}
{(1-\tau)^N\sigma + N\tau(1-\tau)^{N-1}T_{\text{succ}} + \big(1-(1-\tau)^N-N\tau(1-\tau)^{N-1}\big)T_{\text{coll}}}
,\quad \eta_{\text{ACW,eff}}!=!(1-p_{\text{slac}})\eta_{\text{ACW}}.
$$

• 하이브리드(2CA-R²)

$$
\eta_{\text{hyb}} = \frac{r,T_{\text{data}}}{M\sigma_{\text{mini}}+r,T_{\text{succ}}}
;;\text{with};; r\approx\frac{M}{e},;;
\eta_{\text{hyb,eff}}=(1-p_{\text{slac}})\eta_{\text{hyb}}.
$$

• TDMA

$$
\eta_{\text{TDMA}} = 1-\frac{T_{\text{ctrl}}+\sum_i G_i+\sum_i(T_{\text{slot},i}-T_{\text{data},i})}{T_{\text{frame}}}
,\quad \eta_{\text{TDMA,eff}}=1-p_{\text{slac}}.
$$

5.2 지연/데드라인

• Adaptive-CW: 평균 $D_{\text{avg}}$는 $P_{\text{succ}}(1)$의 역수에 비례, 엄밀 WCRT 보장 불가(상한은 재시도 제한 가정하 근사).
• 하이브리드: $\Pr{\text{delay}>nT_{\text{cycle}}}=(1-P_{\text{win}})^n$로 확률적 상계 제공. $M,r$ 설계로 $P_{\text{win}}$↑ → 데드라인 미스 확률↓.
• TDMA: $\text{WCRT}\approx T_{\text{frame}}$ 결정론적 상한. SLAC는 $T_{\text{ctrl}}$로 들어가 상한을 선형으로 키움.

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6. 장점과 한계(전문가 관점)

방법	장점	한계	설계 포인트
Adaptive-CW	구현 단순, 평균 효율↑, 1:1·저노드에서 최적	확률적 tail, WCRT 보장 취약, SLAC 충돌 영향	$\hat p!\to!CW$ 맵핑 튜닝, $\tau!\approx!1/N$ 근방 유지, SLAC 우선처리/격리
하이브리드(2CA-R²)	경쟁은 짧고 예약은 무충돌, 다노드 확장성↑, 평균·분산 지연 개선	완전 결정론 아님, $M,q$ 선택 민감, 동기화 오버헤드	$M$·$q$ 최적화, $r\simeq M/e$ 확보, 제어 슬롯 분리로 $P_{\text{win}}$ 유지
TDMA(클러스터)	충돌 0, 결정론적 WCRT, 형식 검증 용이	비콘/가드/빈슬롯로 효율↓, 노드↑시 $T_{\text{frame}}$↑	슬롯 크기/순서 최적화, 동적 멀티슬롯 할당, SLAC 제어시간 최소화

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7. (추가) 비교에 유용한 수학적 항목들

7.1 데드라인 미스 확률(DMR) & 신뢰도 곡선

• Adaptive-CW:
• $$
  \text{DMR}(D)\approx (1-P_{\text{succ}}(1))^{k(D)},\quad P_{\text{succ}}(1)=(1-\tau)^{N-1}.
  $$
• 하이브리드:
• $$
  \text{DMR}(D)=(1-P_{\text{win}})^{\lfloor D/T_{\text{cycle}}\rfloor},\quad P_{\text{win}}\approx \min(1,r/K).
  $$
• TDMA:즉 $D\ge T_{\text{frame}}$이면 0(보장), 작으면 1.
• $$
  \text{DMR}(D)=\mathbb{1}{D<T_{\text{frame}}} ;;(\text{엄격}),
  $$

7.2 지터(지연 분산)와 퍼센타일 지연

• Adaptive-CW: 재시도 횟수가 기하분포 → 꼬리 두꺼움. $95/99%$ 지연은 평균보다 훨씬 큼.
• 하이브리드: 사이클 기반 기하분포 꼬리. 설계로 $P_{\text{win}}$↑ → 퍼센타일 지연 급감.
• TDMA: 지터 거의 0(슬롯 위치에 의존), 퍼센타일 지연 = 상한과 근접.

7.3 AoI(Age of Information)

주기적 보고에서 정보 신선도 비교:

• Adaptive-CW: 충돌 시 AoI 급등, 분산 큼.
• 하이브리드: 평균 AoI 개선, 변동 작음.
• TDMA: 주기 $T_{\text{frame}}$에 비례해 선형 증가/리셋 → 해석 용이, 상계 명확.

7.4 비트오류/프레임오류를 포함한 신뢰도-지연 공동 분석

프레임 오류확률 $p_e$ 포함:

$$
P_{\text{succ,eff}} = P_{\text{succ}}(1-p_e),\quad
\eta;\text{식과 } D_{\text{avg}}, \text{DMR} \text{에 } P_{\text{succ}}\to P_{\text{succ,eff}} \text{ 대입}.
$$

PLC 채널 잡음이 SLAC 주기와 동기화될 때 $p_e$의 시간의존성(주기 함수)을 고려하면 하이브리드/TDMA가 더 유리(좋은 구간 배정 가능).

7.5 네트워크 계산(Network Calculus) 기반 형식 상계

• TDMA: 노드 $i$ 서비스 커브 $\beta_i(t)=\left\lfloor \frac{t-\phi_i}{T_{\text{frame}}}\right\rfloor S_i$ (오프셋 $\phi_i$, 슬롯 용량 $S_i$).
  흐름 $i$ 도착커브 $\alpha_i(t)$ (예: $(\sigma_i,\rho_i)$원뿔)와의 최대 지연 상계 $\sup_{t\ge 0}{\inf{\Delta\ge 0:\alpha_i(t)\le \beta_i(t+\Delta)}}$.
• Adaptive-CW/하이브리드: 확률적 서비스 커브 $\beta^\varepsilon(t)$로 $\varepsilon$-확률 지연상계 제시 가능(실험/추정 기반).

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8. 1:1 / 5노드—설계 파라미터 가이드(요지)

• 1:1 (N=2)
  • Adaptive-CW: $\tau\to 0.5$ 근방이면 충돌 거의 0, $\eta\to 1$. SLAC는 시간 분리(제어 슬롯) 추천.
  • 하이브리드: $M=1$로도 충분히 즉시 예약 → 지연 최소.
  • TDMA: $T_{\text{frame}}$을 짧게, $T_{\text{ctrl}}$ 최소화 → $\text{WCRT}\approx T_{\text{frame}}$를 작은 값으로.
• 5노드 (N=5)
  • Adaptive-CW: $\tau^*\approx 1/5$ 근방 유지, $CW$ 적응으로 $\eta$ 극대화. SLAC는 별도 슬롯로 격리.
  • 하이브리드: 미니슬롯 $M$을 늘려 $r\simeq M/e$↑, 목표 $r\ge 2$로 사이클당 2노드 이상 수용 → $P_{\text{win}}\approx r/5$ 향상.
  • TDMA: $T_{\text{frame}}$ 증가를 상쇄하려면 멀티슬롯/가변슬롯(긴급 메시지 우선) 또는 슈퍼프레임 단계적 단축이 필요.

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9. 결론(연구 방향 시사점)

• 데드라인 보장 관점: **TDMA(클러스터)**가 결정론적 상한을 제공하며 가장 명확. 하이브리드는 확률적 상한이지만, 설계로 미스 확률을 임의로 낮출 수 있음. Adaptive-CW는 평균 성능은 좋으나 tail 보장이 어려워 긴급 메시지에는 취약.
• SLAC 공존: 세 방식 모두 $p_{\text{slac}}$가 커질수록 효율/지연 악화. 제어 슬롯 분리(TDMA/하이브리드) 또는 우선처리/격리(Adaptive-CW)가 핵심.
• 논문 신규성 포인트로는
  1. 하이브리드에서 $M,q$를 데드라인/미스확률 목표로 최적화하는 닫힌형 수식,
  2. TDMA에 동적 긴급 멀티슬롯을 삽입하고 서비스 커브로 WCRT를 형식 증명,
  3. Adaptive-CW에 SLAC-aware CW 맵핑(제어 구간 예측 시 $\tau$ 선조정)으로 tail 지연 억제
     등이 유효.