Probability and Statistics II: Random Variables – Great Expectations to Bell Curves - 23

Standard Conditioning Argument

RV Y를 어떤 이벤트 A가 일어날 확률에 대한 확률 변수라고 가정하면 E[Y] = P(A)가 된다.

E[Y] = P(A)인데, 이때 어떤 RV X에 대해서

E[Y|X = x] = P(Y = 1 | X = x) = P(A|X = x). 로 정리가 될 수 있다. 

어떤 사건 A의 확률 구하는 방법에 대한 증명

뭔가 더 복잡하게 만든 것처럼 보인다. 

 

X와 Y가 서로 독립적인 RV일 때, 어떤 이벤트가 A = { Y =< X }이면, 위의 수식이 성립된다.

이 경우에 위에서 전개한 Standard Conditioning Argument를 이용하여 위와 같이 정리할 수 있다.

중요한건 P(Y <= x)는 cdf 형태라는 점이다.

Fy(x)는 Y에 대한 cdf이므로 적분을 해야 한다.

X는 다음번에 남자 운전사가 주차장에 오는 시간에 대한  RV이고, Y는 다음번에 여자 운전사가 주차장에 오는 시간에 대한  RV이 이다.

여기서 a는 시간당 주차장에 오는 남자 수이고, b는 여자 수이다. 

직관적으로 P(Y <= X)는 다시 말하면, 여자 운전사가 남자운전사보다 빨리 올 확률을 계산하는 것과 같다.  

생각해보면, 어떤 특점 시간을 지정해서 계산하는 것이 아니기 때문이다.

따라서 b/ (a + b) 이다.

Z = X + Y 일 때, 위와 같이 수식을 전개할 수 있다.

 

X, Y가 Exp(lamda) 분포일 때, P(Z <= z), Z = X + Y 구하기