Probability and Statistics II: Random Variables – Great Expectations to Bell Curves - 21

First-Step Analysis

Geom 분포인 Y는 첫 Head가 나올 사건이고, 이 기댓값을 구해야한다.

Y는 Geom 분포를 가지는데 동전을 던져서 첫 Head가 나올 사건의 기댓값을 구해야 한다. 

X를 첫 토스해서 Head나 Tail이 나올 사건이라고 가정하면, X = T인 경우에는 첫 시도는 실패이므로, 1을 더해야하므로 E[Y|X] = 1 + E[Y], X = H인 경우에는 1회만에 성공이므로, E[Y|X]는 1이다. 

우리는 Y의 기댓값을 구하고 싶으므로, 앞 서 이야기한 Double Expectation 원리를 사용하면 조건부 기댓값의 기댓값으로 Y의 기댓값을 도출할 수 있다. 

Head가 나올 확률은 P, Tail이 나올 확률이 1-p라고 할 때, 위의 공식대로 계산하면 1/p가 나오게 된다. 

HT가 처음으로 나올 때까지의 Flip 횟수를 Y라고 하고 그 횟수의 기댓값을 구해보자

이 경우에 쉽게 말해서 Y = A + B인데, A는 처음으로 H가 나올 때까지 횟수이고, B는 T가 나올 때까지 횟수이다.

A와 B는 서로 IID이다. 그러므로 p = 1/2이다. 

이 경우에 기댓값은 단순히 확률의 역수이므로(왜냐하면 횟수이므로) 전체 기댓값은 4가 된다. 

이 경우에는 First-step Analysis가 포함되지 않았다.

First Step을 적용한 방법