Probability and Statistics I: A Gentle Introduction to Probability - 15

Partitions and the Law of Total Probability

Partition of a Sample Space

서로 배반사건인 subset으로 모든 사건을 쪼개는 것

Partition은 위와 같이 밴다이어그램에 표현할 수 있다.

사건 B가 사건 A 안에 있을 때, 사건 A를 partition하여 쪼갠 뒤, 각각 Ai와 B의 교집합의 합집합의 확률을 B의 확률로 계산할 수 있다.

각각 A의 Partition과 B의 교집합의 합집합의 확률이 B의 확률인데, 수식적으로 표현하면 위와 같이 조건부확률 형태로 표현할 수 잇다.

이 법칙을 Law of Total Probability라고 한다.

Law of Total Probability의 예제

위와 같이 Law of Total Probability를 알고 있으면, 우리가 원하는 확률 즉, GT나 UGA 소속이면서 통과한 학생에 대한 확률을 이미 알고 있는 사실을 도입해서 구할 수 있다. 

우리는 현재 GT, UGA 학생수의 분포를 알고 있고, 각 학교별 통과 확률을 알고 있다. 

따라서 Law of Total Probability를 이용해서 교집합의 확률을 조건부 확률 폼으로 변경해서 구할 수 있는 것이다.