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Geometric and Negative Binomial Distributions Geometric Distribution은 첫 성공이 나올 때까지 하는 시도에 대한 확률 분포이다. 따라서 성공할 확률은 p이고 실패할 확률은 q, 1-p이다. mgf는 위와 같이 X 대신에 E^tx를 대입했을 때의 기대값을 의미한다. mgf는 어떤 pmf, pdf 외에 어떤 확률 분포의 특징을 가늠할 수 있는 지표 중의 하나이다. mgf의 1차 미분값은 기대값이다. 그에 대한 증명은 위와 같다. 2차 미분은 분산과 같다 . 그래서 mgf를 구하면 이 확률 분포에 대한 여러가지 성질을 구할 수 있다. s만큼 시간이 지난 후에 t만큼 더 지났을 때 확률과 t만큼 지났을 때 확률이 갔다는 것은 과거의 사건이 미래에 영향을 주지..

Approximations to E[h(x)] and Var[h(x)] 미지의 함수 Y를 Taylor 급수 형태로 전개하여 E[Y]와 Var[Y]를 정의하는 과정 예를 들어 pdf X에 대한 수식과 h(X) 정의를 아래와 같이 두면 우리는 Y에 대한 기댓값과 분산을 아래와 같이 구할 수 있다. 물론 위와 같이 구할 수도 있지만, 우리가 처음에 제시한 방법대로 한 번 전개 해보자 위와 같이 기존의 X에 대한 기대값과 분산을 정의할 수 있다. 이를 이용해서 처음에 제시한 방법으로 계산을 해보면, 아주 근사한 값이 도출됨을 알 수 있다.

Continuous Random Variables 연속적인 구간에서의 RV pdf : 확률 밀도 함수 확률 밀도 함수에서 어떤 특정 포인트를 찍어서 해당 확률을 살펴보면 0 이다. pmf와 pdf는 성질이 전혀 다르다. pmf는 특정 부분에 대해서 확률을 가지고 있지만, pdf는 그렇지 않다. 오로지 확률을 계산할 수 있는 가능성을 가지고 있을 뿐이다.