Probability and Statistics II: Random Variables – Great Expectations to Bell Curves - 28

Moment Generating Functions, Revisited

moment generating function을 기억해보자

랜덤변수 X가 베르누이 혹은 지수 분포를 가질 때, moment generating function은 위와 같이 구할 수 있다.

베르누이 분포의 경우에는 랜덤변수가 0과 1뿐이고 그에 대한 확률값도 p, q(1-p) 뿐이므로 위와 같이 전개될 수 있다. 

지수 분포의 경우 연속확률분포이므로 적분을 통해서 기댓값을 계산하게 된다. 

서로 독립인 확률변수끼리의 mfg의 합을 My(t)로 정의한다.

여기서 Sigma 기호는 각 index에 해당하는 수를 더하는 것이지만, Pi 연산은 각 index에 해당하는 수를 전부 곱하는 연산을 해야한다.

Make Sense하다.

 

베르누이 분포를 가지고 있는 서로 독립인 RV에 대한 mgf sum을 구해보자.

이 베르누이 독립 RV들의 mgf 합은 Binominal 분포의 RV의 mgf와 같다는 것이다.

mgf를 가지고 확률분포를  확인할 수 있다.

mgf는 X의 선형방정식이다.

가령 Y = aX + b이면, My(t) = e^tb * Mx(at).

이런 경우에 Y 또한 3X - 2와 동일한 분포를 가짐을 의미하며, X ~ Bin(15, 0.75)와 동일한 분포를 가진다.

iid RV들의 mgf sum을 이용한 증명