Probability and Statistics II: Random Variables – Great Expectations to Bell Curves - 29

Honors Bivariate Functions of Random Variables

이번에는 두 개의 RV에 대한 확률분포의 일반식을 구해보자

jacobian determinant) of the transformation

우리가 이 과정을 통해 알고 싶은 것은 새로운 2차원 랜덤 변수 (V, W)의 어떤 사건에 대해서 기존의 2차원 랜덤 변수 (X,Y)의 확률로 표현하는 것이다. 

여기서, k1과 k2는 식을 위해 적절히 구해진 역 함수이다. 

J는 jacobian이다. 

jacobian을 사용하는 이유는 change of variable을 하기 위해서 이다. 

* 랜덤변수의 변환에 대해서 사전 지식이 있어야 한다. 위 식은 랜덤변수의 변환을 다변수로 확장시킨 개념이다.

X와 Y가 iid이고 지수 분포일 때, X + Y의 pdf를 구하라

우리는 임의로 V = X + Y로 두고, W = X로 둘 수 있다. 

X = W = k1(V,W) 그리고 Y = V - W = k2(V,W)로 둘 수 있다. 

즉, X와 Y를 V와 W에 관한 식으로 치환할 수 있다. 

그리고 jacobian term을 하나씩 계산한다. 

그러면 위와 같이 각 term을 계산할 수 있다. 

v, w의 joint pdf 계산

자 이제 V와 W에 대한 joint pdf를 계산해보자

k1(v,w) = x = w이고, k2(v,w) = y = v - w이다. 

그리고 jocobian term의 절대값은 1이므로 각 값을 넣어서 전개한다.

X와 Y는 서로 독립이므로 해당 joint pdf는 각각의 pdf의 곱으로 표현이 가능하며, X와 Y는 지수 분포이므로 위와 같이 변환할 수 있다. 

위 전개를 통해 우선 우리는 g(v,w)의 joint pdf의 값을 얻었다. 

이제 우리가 원하는 V에 대한 pdf를 얻기 위해서는 해당 joint pdf에서 w에 대한 적분을 하면 된다. 

X와 Y가 iid이며 Unif(0,1) 분포로 되어 있다고 가정하자. V와 W의 joint pdf를 구해라

위에서 전개한 것과 같이 우선 X와 Y를 V와 W에 대한 식으로 변환한다.

그리고 다변수 변환을 위해 필요한 jacobian term을 각각 구한다.

이제 V와 W의 joint pdf 식을 전개를 통해서 구해나가보자.

전개할 때 우리는 X와 Y가 Unif 분포라는 점을 인지하고 있기 때문에 위와 같이 전개가 가능하다.

Unif의 pdf는 결국 1이기 때문이다. 

그리고 0 < x,y < 1인 이유는 X와 Y가 마찬가지로 Unif 분포이기 때문이다.

위의 joint pdf를 통해서 우리는 marginal pdf를 두할 수 있다.