Probability and Statistics I: A Gentle Introduction to Probability - 11

The Envelope Problem

The Envelope Problem 설명

n명의 사람으로 구성된 그룹에 n개의 우편이 그들의 이름이 써있는 채 도착했다.

하지만 누군가 이 우편을 어질러버렸다. 

자 여기서 적어도 한 명이 자신에게 온 우편을 받을 확률을 구해보자.

Ai를 어떤 i라는 사람이 자신에게 온 편지를 받는 Event라고 가정하면, 우리가 원하는 건 이런 Ai의 합집합이 될 것이다.

그리고 그에 대한 확률을 구하면 되는 것이다. 

이 전체 합집합을 inclusion-exclusion의 원리로 전개하면 짝수 Event의 교집합은 빼고 홀수 Event의 교집합은 더하는 식으로 전개할 수 있다. 

이 문제의 경우 각 Ai의 확률 P(Ai)는 전부 같다고 볼 수 있고 또한 모든 교집합들도 서로 확률이 같다고 볼 수 있다. 

따라서 위와 같이 전개할 수 있다. 

그래서 수식은 위와 같이 표현할 수 있는데 P(A1) = 1/n이고 어떤 두 event의 교집합은 1/(n(n-1))로 표현될 수 있다. 

이런식으로 전체를 전개해 나가면 놀랍게도 위와 같은 식으로 전개가 가능하다.