Probability and Statistics II: Random Variables – Great Expectations to Bell Curves - 8

Moment Generating Functions

E[X^k]는 X의 kth 모멘트이고, mgf는 E{e^tX] 이다

여기서 중요한 건 Mx(t)는 X의 함수가 아니다. t에 대한 함수이다.

예제는 X가 베르누이 분포일 때, mgf(moment generating function)을 구하면 위와 같다는 의미이다.

LOTUS를 활용해서 계산한다. 함수 특성 때문에 x는 양수 영역에서만 적분을 한다.

kth moment를 mgf로 부터 도출 할 수 있다. (때때로 이 방법이 더 쉬울 수 있다.)

위의 수식 증명은 아래와 같다.

 

우리는 이러한 mgf를 이용해서 여러가지 응용을 할 수 있는데,

 

mgf로 할 수 있는 응용들

 

Find the mgf of a linear function of X.

 

Identify distributions

만약에 같은 mgf를 가지는 서로 다른 두 개의 확률변수가 있다면, 이들은 서로 같은 분포를 가지게 된다. 

따라서 하나의 mgf는 하나의 확률분포에 대응된다.