Probability and Statistics II: Random Variables – Great Expectations to Bell Curves - 20

Double Expectation

조건부 확률 변수의 기대값의 기대값은 기대값이다?

조건부 기댓값의 기댓값이 기댓값이다.

이게 무슨 말일까? 

실제로 조건부 기댓값을 h(X)로 치환하고 LOTUS를 이용하여 기댓값을 계산해보면 원래의 기댓값이 나온다.

Double Expectation의 증명

핵심은 조건부 확률을 치환할 수 있고, 그 치환된 값을 이용해서 Jointly RV를 만든 뒤에 다시 Marginal Distribution 공식으로 정리할 수 있다는 것이다.

이전 예제를 통해서 jointly RV는 marginal로 각각 RV를 구할 수 있다.

조건부 기댓값은 f(x,y)/fx(X)로 치환한 뒤 y를 곱하고, y의 범위인 x^2부터 1까지 적분을 통해서 구할 수 있다. 

해법 1의 경우에는 기존에 방식대로 기댓값을 구하는 과정이며, 해법2는 위에서 말한 것과 같이 조건부 기댓값의 기댓값을 구하여 값을 얻어내는 과정이다.